Systemidentifikation mit Sprungantworten – Es kann einfach nicht funktionieren (Teil 3: Worauf es ankommt)

Wir haben im zweiten Teil dieser Serie gesehen, dass die schlechte Modellgüte bei der Systemidentifikation mit Sprungantworten auf das ungünstige Amplitudenspektrum der Sprungfunktion zurückgeführt werden kann. Daher stellt sich nun die Frage, wie ein geeignetes Amplitudenspektrum aussieht und mit welchem Zeitsignal sich dieses darstellen lässt. Hierzu ist es hilfreich, sich etwas genauer mit der Frequenzgangschätzung zu beschäftigen, da wir ja wissen, dass der Frequenzgang – im Gegensatz zur Sprungantwort – der entscheidende Faktor für die genaue Modellierung des Systemverhaltens ist

Die Frequenzgangschätzung

Es existieren eine Reihe von unterschiedlichen Methoden zur Frequenzgangschätzung, wobei die am häufigsten Verwendete die sogenannte H1-Methode ist. Diese verbirgt sich, in leicht abgewandelter Form, auch hinter diversen Befehlen der System Identification Toolbox von Matlab®.
Deren Eigenschaften sind (bei einer ausreichenden Länge der Messdaten) bekannt und leicht zu begreifen. Die zentrale Aussage liefert folgende Gleichung für die Varianz der Schätzung des Frequenzgangs an der Frequenz \omega,

\sigma^2_G(\omega) = \dfrac{1}{M |U(i\omega)|^2} \sigma^2_N. \qquad (3)

Dabei bezeichnen |U(i\omega)| die Amplitudendichte des Anregungssignals, wie wir sie bereits bei der Analyse der Sprungfunktion verwendet haben, und \sigma^2_N die Varianz des Messrauschens. Letzteres wurde hier als bandbegrenztes weißes Rauschen über den relevanten Frequenzbereich \omega_\mathrm{min} < \omega < \omega_\mathrm{max} angenommen. Weiter gehen wir davon aus, dass die Messung mit demselben Anregungssignal u(t) M mal wiederholt wird und keine weiteren Störquellen vorliegen.
Fordert man nun eine über den betrachteten Frequenzbereich konstante, ausreichend kleine Varianz \sigma^2_G, so ergibt sich damit unmittelbar die Forderung nach einer über der Frequenz konstanten Amplitudendichte. Die Sprungfunktion ist davon – wie wir in Teil 2 gesehen haben – weit entfernt. Aber schon mit bewährten Standard-Signalen, wie dem Gleit- oder Multisinus, kommt man an dieses Ideal sehr nahe heran. Eine Stellgrößenbeschränkung des Zeitsignals kann dabei problemlos eingehalten werden. Die folgenden Bilder zeigen jeweils ein Beispiel für den Gleit- und Multisinus für eine Anregung bis 250Hz bei einer Stellgrößenbeschränkung von eins.

Zeitsignal eines Gleitsinus (auch Sweep genannt)
Amplitudendichte eines Gleitsinus
Zeitsignal eines Multisinus
Amplitudendichte eines Multisinus

Wir gehen nun im Weiteren davon aus, dass man im relevanten Frequenzbereich eine ideal konstante Amplitudendichte erzeugen kann und fragen uns, um wieviel genauer damit die Frequenzgangschätzung im Vergleich zur Sprungfunktion werden kann.
Unter geeigneten experimentellen Bedingungen ist die H1-Methode biasfrei, d.h. der Gesamtfehler der Schätzung entstammt ausschließlich der in Gleichung (3) gegebenen Varianz aufgrund von Messrauschen. Als Fehlermaß des geschätzten Frequenzgangs wollen wir zwei Standardabweichungen festlegen, d.h.

e(\omega) := 2 \sigma_G(\omega) = \dfrac{2}{\sqrt M |U(i\omega)|} \sigma_N. \qquad (4)

Damit ergibt sich unmittelbar das Fehlerverhältnis von Sprunganregung zu idealer Anregung zu

\dfrac{e_\mathrm{sprung}(\omega)}{e_\mathrm{ideal}} =\dfrac{|U_\mathrm{ideal}|}{|U_\mathrm{sprung}(\omega)|}.

Für das System aus dem Motivationsbeispiel von Teil 1 beträgt die Dauer der Impulsantwort ca. 6 Sekunden. Mit einem Gleitsinus der Amplitude eins und dieser Dauer lässt sich in sehr guter Näherung eine konstante Amplitudendichte |U_\mathrm{ideal}| = 1 im Frequenzbereich zwischen \omega_\mathrm{min} = 0.1 \pi rad/s und \omega_\mathrm{max}= 15 \pi rad/s darstellen. Der Verlauf von |U_\mathrm{sprung}(\omega)| der Sprungfunktion mit der gleichen Amplitude und Dauer wie beim Gleitsinus entspricht nun nicht mehr exakt dem bisher betrachteten hyperbelförmigen Verlauf, da eine endliche Zeitdauer betrachtet wird. Die beiden Amplitudendichten und das Fehlerverhältnis sind in den folgenden Bildern dargestellt.

Angestrebte Amplitudendichte und Amplitudendichte der Sprungfunktion
Normierter Fehler des geschätzten Frequenzgangs (bezogen auf das angestrebte Anregungsspektrum)

Bereits ab einer Frequenz von 2.0 rad/s liegt das Fehlerverhältnis über eins und steigt bis zum oberen Ende des relevanten Frequenzbereichs bis auf 24 an. Wie in Gleichung (4) ersichtlich, geht die Anzahl der Messwiederholungen mit der Wurzel in die Fehlerberechnung ein.

Das bedeutet, dass man 24² = 576-mal die Messung der Sprungantwort wiederholen müsste, um bei \omega_\mathrm{max} die gleiche Güte zu erreichen, wie bei einer einzigen Messung mit dem Gleitsinus!

Wir wollen zum Abschluss den Einfluss der beiden verschiedenen Anregungen noch in Form von Bode-Diagrammen darstellen, da diese Darstellung besonders intuitiv ist. Dazu tragen wir den Betrag des Frequenzgangs – den sog. Amplitudengang – des wahren Systems aus unserem Motivationsbeispiel zusammen mit den jeweiligen Fehlerabschätzungen über der Frequenz auf. Es gilt hierbei folgender einfacher Zusammenhang zwischen der Standardabweichung des Frequenzgangs \sigma_G(\omega) und der des zugehörigen Betrags \sigma_{|G|}(\omega):

\sigma_{|G|}(\omega) \approx \sigma_G(\omega).

Die nachfolgenden Bilder zeigen für die ideale und sprungförmige Anregung jeweils das wahre System, dessen Fehlerabschätzung (in Form von zwei Standardabweichungen), und das aus der Sprungantwort in Teil 1 bestimmte PT1-Modell. Es wurde jeweils von M = 10 Experimenten ausgegangen. Die notwendige Gesamtmesszeit wäre damit bei beiden Anregungen identisch, die erreichbare Modellgüte jedoch wesentlich unterschiedlich!

Amplitudengänge von wahrem System, inklusive Fehlerabschätzung bei idealer Anregung, und Modell erster Ordnung
Amplitudengänge von wahrem System, inklusive Fehlerabschätzung bei Sprunganregung, und PT1-Modell

Die ideale Anregung führt zu deutlich kleineren Fehlerabschätzungen. Das PT1-Modell liegt dabei weit außerhalb der Fehlerabschätzung und ist somit klar als invalide gekennzeichnet. Die erreichbare Schätzgenauigkeit bei Sprunganregung ist so schlecht, dass nicht erkennbar ist, dass die Systemdynamik nie durch ein PT1-Modell abgebildet werden kann.

Mit einer methodisch korrekten Frequenzgangschätzung, inklusive Fehlerabschätzung, lässt sich also im Vornherein feststellen, dass ein PT1-Modell ungeeignet ist, um das reale Systemverhalten abzubilden. Die böse Überraschung kommt also nicht erst, wenn man, basierend auf dem schlechten Modell, einen Regler entworfen hat und dieser dann – wider erwarten – am realen System nicht funktioniert.
Darüber hinaus lässt sich der Fehler in der Modellbildung durch eine geeignete Wahl des Anregungssignals, wie oben gesehen, um mehrere Zehnerpotenzen verkleinern!

Mit ausreichend Fachwissen und den richtigen Kniffen für die Praxis haben Sie das Werkzeug in der Hand, um zielsicher Modelle zu identifizieren, die Sie für Ihre Anwendungen in den Bereichen Reglerentwuf, Diagnose und Prädiktion brauchen.

Alles, was Sie hierzu benötigen, vermitteln wir in unserem Seminar:

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